__2017-12-11 如一模式识别研究

如一模式识别研究

基本数学知识>>矩阵分析(二)\lambda-矩阵和Jordan标准形

上一篇讲到矩阵对角化问题,其中一个关键步骤是利用特征方程求取特征值和特征向量,而其中特征方程中的矩阵 就是特殊的 - 矩阵,所以本篇就从 - 矩阵的基本概念说起。

- 矩阵

所谓 - 矩阵,简单说来就是矩阵中的每个元素都是关于 的多项式。由此定义,易知我们之前提到的数值矩阵都是特殊 - 矩阵,所以研究 - 矩阵的性质,都可以直接应用到之前的数值矩阵中,从另外一个角度讲,之前研究数值矩阵的方法,也可以借鉴来研究 - 矩阵。下面我们进行具体阐述。

既然是矩阵,那么 - 矩阵也有秩,行列式,逆等概念,这些都与数字矩阵类似,其中秩的定义牵扯到了 阶子式,与线性代数中的定义相同。对于逆矩阵的判定条件,只需证其行列式不为零。与数值矩阵不同的是,对一个 阶 - 矩阵而言,其秩为 并不代表它就可逆。

同样,我们也为 - 矩阵定义了其初等变换矩阵,并给出等价定义及其判定定理。即一个矩阵经过有限次初等变换之后得到的新矩阵与原矩阵等价,据此定义,其判定条件可描述为一个矩阵可以用另外一个矩阵分别左乘和右乘可逆矩阵来表示。

有了等价定义后,显然,任何一个非零 - 矩阵都等价于某一个”对角形“矩阵,如果这个对角矩阵的对角线元素是首项系数为1的多项式。这样的“对角形”矩阵称为原矩阵的Smith标准形,并且可以证明,其形式是唯一的。

由Smith标准形进一步引申出了几个概念——不变因子、行列式因子。由这些因子可以拓展得到新的判定两个 - 矩阵等价的定理(充要条件),即对应于任何 ,他们的 阶行列式因子相等,或者他们具有相同的不变因子。此外,还可以再引申出判定 - 矩阵可逆的新方法(充要条件),即与单位矩阵等价,可以表示为一系列初等矩阵乘积等。

初等因子与相似条件

初等因子,简单说来就是指在负数域下对不变因子的分解得到因子。如果两个 - 矩阵的秩和初等因子都相等,那么这两个矩阵等价,反之亦然。接下来就是 - 矩阵在准对角表示下其各个对角线上矩阵的初等因子与原矩阵的初等因子之间关系问题,这里不详细说明。

前面提到,数字矩阵的特征矩阵是 - 矩阵,它是研究数字矩阵的重要工具。下面,我们将数字矩阵的相似归结为它们特征矩阵等价。

首先,两个 阶数字矩阵矩阵相似的充要条件是它们的特征矩阵相似,进一步,它们的特征矩阵相似的充要条件是两者等价。这样,判定两个 - 矩阵等价的定理就可以引进来直接证明数字矩阵的相似了,这也是我们先研究 - 矩阵的原因所在。

Jordan标准形

一个矩阵如果相似一个对角矩阵,那将是非常美妙的事情,但是,实际应用中却往往没有那么完美,这个时候只能退而求其次,即找到其相似意义下的Jordan标准形,它不仅在理论上上有重要作用,在物理、力学、工程上有广泛的应用,其具体应用等笔者有机会再开专题细讲。

可以证明,任何一个方阵都可以找到对应的Jordan标准形,其关键问题是如何找到同阶的满秩方阵 ,使得 。

关于求取矩阵 的具体方法,这里就不展开来讲了。

总结

下面总结一下本篇内容,理清一下思路。

两个矩阵的相似性问题等价与其特征方程的等价问题,而特征方程式特殊的 - 矩阵,所以我们先了解了 - 矩阵的基本概念,提出了判定两个 - 矩阵等价的方法。相似性问题的一个重点是研究矩阵的可对角化问题,如果不能对角化,那么只能退而求其次,转为求矩阵的Jordan标准形问题。

最后再次强调一下,就是矩阵可以对应于线性映射或线性变换,所以上述所有关于矩阵的方法,都可以用线性映射或者线性变换的知识来解释。

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