2020年成人高考文科數學復習重點：數列的通項

　　數列是函數概念的繼續和延伸，數列的通項公式及前n項和公式都可以看作項數n的函數，是函數思想在數列中的應用.數列以通項為綱，數列的問題，最終歸結為對數列通項的研究，而數列的前n項和Sn可視為數列{Sn}的通項。通項及求和是數列中最基本也是最重要的問題之一，與數列極限及數學歸納法有著密切的聯系，是成人高考對數列問題考查中的熱點，本點的動態函數觀點解決有關問題，為其提供行之有效的方法.

　　●難點磁場

　　(★★★★★)設{an}是正數組成的數列，其前n項和為Sn，并且對于所有的自然數n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.

　　(1)寫出數列{an}的前3項.

　　(2)求數列{an}的通項公式(寫出推證過程)

　　(3)令bn= (nN*)，求 (b1+b2+b3++bn-n).

　　●案例探究

　　[例1]已知數列{an}是公差為d的等差數列，數列{bn}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數列，若函數f(x)=(x-1)2，且a1=f(d-1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q-1)，

　　(1)求數列{an}和{bn}的通項公式;

　　(2)設數列{cn}的前n項和為Sn，對一切nN*，都有 =an+1成立，求 .

　　命題意圖：本題主要考查等差、等比數列的通項公式及前n項和公式、數列的極限，以及運算能力和綜合分析問題的能力.屬★★★★★級題目.

　　知識依托：本題利用函數思想把題設條件轉化為方程問題非常明顯，而(2)中條件等式的左邊可視為某數列前n項和，實質上是該數列前n項和與數列{an}的關系，借助通項與前n項和的關系求解cn是該條件轉化的突破口.

　　錯解分析：本題兩問環環相扣，(1)問是基礎，但解方程求基本量a1、b1、d、q，計算不準易出錯;(2)問中對條件的正確認識和轉化是關鍵.

　　技巧與方法：本題(1)問運用函數思想轉化為方程問題，思路較為自然，(2)問借雞生蛋構造新數列{dn}，運用和與通項的關系求出dn，絲絲入扣.

　　解：(1)∵a1=f(d-1)=(d-2)2，a3=f(d+1)=d2，

　　a3-a1=d2-(d-2)2=2d，

　　∵d=2，an=a1+(n-1)d=2(n-1);又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q-1)=(q-2)2，

　　 =q2，由qR，且q1，得q=-2，

　　bn=bqn-1=4(-2)n-1

　　(2)令 =dn，則d1+d2++dn=an+1,(nN*),

　  dn=an+1-an=2,

　　 =2,即cn=2·bn=8·(-2)n-1;∴Sn= [1-(-2)n].

　　 [例2]設An為數列{an}的前n項和，An= (an-1)，數列{bn}的通項公式為bn=4n+3;

　　(1)求數列{an}的通項公式;

　　(2)把數列{an}與{bn}的公共項按從小到大的順序排成一個新的數列，證明：數列{dn}的通項公式為dn=32n+1;

　　(3)設數列{dn}的第n項是數列{bn}中的第r項，Br為數列{bn}的前r項的和;Dn為數列{dn}的前n項和，Tn=Br-Dn，求 .

　　命題意圖：本題考查數列的通項公式及前n項和公式及其相互關系;集合的相關概念，數列極限，以及邏輯推理能力.

　　知識依托：利用項與和的關系求an是本題的先決;(2)問中探尋{an}與{bn}的相通之處，須借助于二項式定理;而(3)問中利用求和公式求和則是最基本的知識點.

　　錯解分析：待證通項dn=32n+1與an的共同點易被忽視而寸步難行;注意不到r與n的關系，使Tn中既含有n，又含有r，會使所求的極限模糊不清.

　　技巧與方法：(1)問中項與和的關系為常規方法，(2)問中把3拆解為4-1，再利用二項式定理，尋找數列通項在形式上相通之處堪稱妙筆;(3)問中挖掘出n與r的關系，正確表示Br，問題便可迎刃而解.

　　解：(1)由An= (an-1)，可知An+1= (an+1-1)，

　　an+1-an= (an+1-an)，即 =3，而a1=A1= (a1-1)，得a1=3，所以數列是以3為首項，公比為3的等比數列，數列{an}的通項公式an=3n.

　　(2)∵32n+1=332n=3(4-1)2n=3[42n+C 42n-1(-1)++C 4(-1)+(-1)2n]=4n+3，

　　32n+1{bn}.而數32n=(4-1)2n=42n+C 42n-1(-1)+C 4(-1)+(-1)2n=(4k+1)，

　　32n {bn}，而數列{an}={a2n+1}{a2n}，dn=32n+1.

　　(3)由32n+1=4r+3，可知r= ，

　　Br= ，

　　●錦囊妙計

　　1.數列中數的有序性是數列定義的靈魂，要注意辨析數列中的項與數集中元素的異同.因此在研究數列問題時既要注意函數方法的普遍性，又要注意數列方法的特殊性.

　　2.數列{an}前n 項和Sn與通項an的關系式：an= 3.求通項常用方法

　　①作新數列法.作等差數列與等比數列.

　　②累差疊加法.最基本形式是：an=(an-an-1+(an-1+an-2)+(a2-a1)+a1.

　　③歸納、猜想法.

　　4.數列前n項和常用求法

　　①重要公式

　　1+2++n= n(n+1)

　　12+22++n2= n(n+1)(2n+1)

　　13+23++n3=(1+2++n)2= n2(n+1)2

　　②等差數列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比數列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.

　　③裂項求和：將數列的通項分成兩個式子的代數和，即an=f(n+1)-f(n)，然后累加時抵消中間的許多項.應掌握以下常見的裂項：

　　④錯項相消法

　　⑤并項求和法

　　數列通項與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法.